数列とは，漢字の意味の通り，数字が列をなしたものです。たとえば，次の数字の並びも数列です。
\( 1\:,2\:,3\:,4\:,5\:,6\:,\cdots \)
上の数列の最後に記載した「 \( \color{red}{\cdots} \) 」は，特別な意味をもっています。それは，それまでのような規則で，それ以後も続くという意味です。ですから，この数列は，無限に続くことを示しています。このように，無限に続く数列を
無限数列
といいます。一方，次に示すような，終わりのある数列を
有限数列
といいます。
\( 2\:,4\:,6\:,8\:,10\:,\cdots\:,98\:,100 \)
数列のそれぞれの数のことを
項（こう）
といいます。数列の１番初めの数を，第１項，２番目の数を第２項といいます。ｎ番目の数は，第ｎ項です。また，数列にアルファベットの名前をつけることがあります。次の例を見てください。
\(
次の数列を a とする。 \\
2\:,4\:,6\:,8\:,10\:,\cdots \\
このとき \\
a_1 = 2（aの数列の第１項は２という意味）\\
a_2 = 4（aの数列の第２項は４という意味）\\
a_5 = 10（aの数列の第５項は１０という意味）\\
などと表す。\\
\color{red}{{a_n}は数列aの第n項を表す。}
\)
数学では，文字式を利用するときに，様々なアルファベットを用います。自由な文字を用いてもよいわけですが，いくつかの慣例があります。例えば，一次方程式では「x」を使うことが普通ですし，円の半径であれば「ｒ」を使います。長さは「ｌ」，面積は「Ｓ」などです。上の例で，\( a_n \)という表し方が出てきましたが，「ｎ」は自然数に使うことが多いです。これらは，ヨーロッパ言語の頭文字になっていることなどが多いです。とりあえず，「ｎ」は，ある自然数を表すということを覚えておきましょう。
ランダムな数列もあるでしょうが，先に示したような，規則的な数列もあります。数列の面白さのひとつに，その規則を見つけるというものがあります。また，数列を列挙ではなく，式で表すこともできます。ここで，初めに示した各項が自然数である数列を式で表してみましょう。
\(
数列 a : 1\:,2\:,3\:,4\:,5\:,6\:,\cdots\\
この数列の各項をnを使って表す。\\
\color{red}{a_n = n}
\)
この式に対して，\( \color{blue}{n=1} \)を代入すれば，\(\color{blue}{a_1 = 1}\)となり，第１項の値を示すことになります。同様にして\(\color{blue}{a_5 = 5}\)などと，すべての項を導き出すことができるので，上記の式で数列全体を表すことができます。このように\(a_n\)の項の値を，\(n\)を用いた式で表すことを，
一般項で表す
といいます。数列の列挙から一般項をもとめるには，数学的なテクニックが必要なものもありますが，みなさんの知力で考えれば，難しいテクニックを使わなくても，一般項を求めることができるものもあります。
さて，数列を式で表す方法として，もうひとつの方法があります。
漸化式（ぜんかしき）
という式です。以下にその例を示します。
\(
数列 a : 1\:,2\:,3\:,4\:,5\:,6\:,\cdots\\
この数列の各項をnを使って表す。\\
\color{red}{
\begin{cases}
a_1 & = & 1 & (n = 1)\\
a_n & = & a_{n-1} + 1 & (n > 1)
\end{cases}
}
\)
漸化式は，第１項（初項ともいいます）を示すと共に，第２項以後は，他の項の値から計算して求められるように表すものです。ふたつ以上前の項を使って表す漸化式もあります。さて，先ほどの式（一般項を求めたもの）と漸化式では，どちらが使いやすいでしょうか？ 漸化式の場合は，\( a_{100} \)を知るためには，\( a_{99} \)を知らなければなりません。これを繰り返していくと，結局，初項までたどらなければならないことになります。それに対して，一般項で表した方は，\(n=100\)を式に代入するだけでよいのです。一般項も漸化式も数列を表す式には違いがありませんが，それぞれの性質には違いがあります。漸化式から一般項を求める難しい問題もあるのですが，数学クラブでは，当分の間，一般項のみを使用していきたいと思います。
- 次の数列の規則をみつけて，説明しなさい。
\( 1\:,1\:,2\:,3\:,5\:,8\:,13\:,21\:,34\:,\cdots \)
- 次の数列の規則をみつけて，説明しなさい。
\( 1\:,2\:,4\:,7\:,11\:,16\:,22\:,29\:,\cdots \)
ちなみに，一般項は \( \frac{n(n-1)}{2} + 1 \) です。
- 次の数列の規則をみつけて，説明しなさい。
\( 2\:,3\:,\frac{9}{2}\:,\frac{27}{4}\:,\frac{81}{8}\:,\cdots \)
- 次の数列の一般項\(\{a_n\}\)を求めなさい。
\( 3\:,5\:,7\:,9\:,11\:,13\:,15\:,\cdots \)
- 次の数列の一般項\(\{a_n\}\)を求めなさい。
\( 2\:,4\:,8\:,16\:,32\:,64\:,\cdots \)
説明が難しかったかもしれませんが，課題はそれほど難しくないはずです。よく考えてみよう。